大学生が不可能として悪名高い数学の問題を解いた

May 18, 2023

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数学者は不可能を可能であると証明しただけかもしれません。

30 年間、数学者は、各数値のペアが合計すると一意の値になる無限の数値のセットを持ち、それらの値をそれぞれかなり大きくすることができるのではないかと考えてきました。

3月、オックスフォード大学の大学院生が、幾何学というありそうもない解決策に目を向けることで、ついに問題を解決した。

1993 年、20 世紀で最も多作な数学者の一人であるハンガリーの数学者パウル・エルジェスは、互いに矛盾しているように見える 2 つの要素を含む質問を提起しました。「シドン集合は「次数 3 の漸近基底」であり得るか?

説明しましょう。

別のハンガリーの数学者、サイモン・シドンにちなんで名付けられたこれらのセットは、基本的に、セット内の 2 つの数値の合計が同じ整数にならない数値のコレクションです。 たとえば、単純な Sidon セット (1、3、5、11) では、セット内の 2 つの数値のいずれかを加算すると、それらは一意の数値に等しくなります。 たった 4 つの数値でシドン セットを構築するのは非常に簡単ですが、セットのサイズが大きくなるにつれて、ますます難しくなります。 2 つの合計が同じになるとすぐに、数値の集合は Sidon 集合とはみなされなくなります。

エルデシュの問題の 2 番目の要素、恐ろしい響きの「次数 3 の漸近基底」の部分は、次のことを意味します。

セットは無限に大きくなければなりません

セット内の最大 3 つの数値を加算した結果として、十分に大きな整数を書き込むことができます。

したがって、この 30 年にわたる難題は、これら 2 つの要素が同じ数値セットに存在できるかどうかに焦点を当てていました。 何十年もの間、答えはノーだと思われていました。

しかし今年3月、オックスフォード大学院生のセドリック・ピラット氏は、そのようなシドン集合の存在を裏付ける証拠を発表した。 そのマイルストーンに到達するのは簡単ではありませんでした。 2010 年に数学者は、シドン集合が次数 5 の漸近基底になり得ることを証明し、その 3 年後には、シドン集合が「次数 4 の漸近基底」になることも可能であることを証明しました。 しかし、「オーダー 3」はとらえどころのないままで、理論的には可能だが証明するのは信じられないほど難しい (そして潜在的には不可能である) と考える人もいます。

「彼らは反対方向に引っ張っている」とピラット氏はクアンタ・マガジンに語った。 「シドン集合は小さくなるように制約され、漸近基底は大きくなるように制約されます。それが機能するかどうかは明らかではありませんでした。」

それでは、ピラットはどのようにして、一見丸い穴に適合する数学的に正方形のペグを入手したのでしょうか? 彼は型破りなアプローチを採用し、エルデシュが支持した確率論的手法やいわゆる加法数理論ではなく幾何学に目を向けました。 ピラットは数値を多項式に置き換え、コロンビア大学の数学者の最近の研究を利用しました。 これらのアイデアを組み合わせて、ピラッテはエルデシュの元の問題を最終的に解決するのに十分な密度とランダムさを備えたシドン集合を作成することに成功しました。

ピラットの研究は、さまざまな分野にわたる多くの数学者の発見に依存しており、さらには、一見無関係に見える数学分野を組み合わせて質問に答えました。 「代数幾何学の非常に奥深いテクニックが、数値の集合に関するこの単純かつ具体的な質問にも使用できるのは素晴らしいことです」とピラット氏はQuanta Magazineに語った。

そして、さらに別の「不可能な」数学の問題が非常に可能であることがわかります。

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